Operaciones basicas con numeros complejos

Operaciones básicas de números complejos

Suma

Para sumar dos números complejos se tomará la parte real del primero y se sumará con la parte real del segundo, haciendo lo mismo con la parte imaginaria

Teniendo los siguientes números complejos Z₁= a+bi y Z₂= c+di la suma seria de la siguiente manera:

Z=(a+c)+(bi+di)

Ejemplo: teniendo Z₁= 6+9i y Z₂= 2+1i realizar la suma

Z=(6+2)+(9+1)i

Z=8+10i

Resta

La resta de números complejos se dará de la misma forma que la suma, la parte real del primero se restara la parte real del según, y la parte imaginaria del primero se le restara la parte imaginaria del segundo.

Teniendo los siguientes números complejos Z₁= a+bi y Z₂= c+di la resta seria de la siguiente manera:

Z=(a-c)+(bi-di)

Ejemplo: teniendo Z₁= 6+9i y Z₂= 2+1i realizar la resta

Z=(6-2)+(9-1)i

Z=4+8i

Multiplicación

Teniendo los siguientes números complejos Z₁= a+bi y Z₂= c+di la multiplicación seria de la siguiente manera:

Z=(a+bi)*(c+di)

Z=(a*c)+(a*di)+(bi*c)+(bi*di)

Para poner el resultado se suman números reales con números reales y números imaginarios con números imaginarios

Ejemplo: teniendo Z₁= 6+9i y Z₂= 2+1i realizar la multiplicación

Z=(6+9i)*(2+i)

Z=(6*2)+(6*i)+(9i*2)+(9i*i)

Z=(12)+(6i)+(18i)+(9i²) recordemos que i² es igual a -1

Z=(12)+(6i+8i)+(9(-1))
Z=(12-9)+(6i+8i)

Z=3+14i

Para la multiplicacion tenemos otra forma de realizarla, esto con la forma polar quedando de la siguiente forma:

Z= r1*r2[cos (0₁+ 0₂) + isen (0₁+ 0₂)]

Para sacar los vectores resultantes aplicaremos el teorema de pitagoras a cada numero complejo y para calcular sus angulos utilizaremos las funciones trigonometricas (como se mostro en la representacion de un numero complejo en forma polar)

 Z₁= 6+9i                                             Z₂= 2+1i 

| Z₁|= 10.81                                         | Z2|= 2.24
O=56.31°                                             O=26.56

Aplicando la formula quedaria de la siguiente manera:

(10.81*2.24)[cos (56.31+26.56) + isen (56.31+26.56)

24.21[cos 82.87° + isen 82.57°]

División

Para la división es un poco diferente de las demás operaciones.

Multiplicaremos el conjugado del denominador en el nominador y el denominador

Teniendo los siguientes números complejos Z₁= a+bi y Z₂= c+di la división seria de la siguiente manera:

Z=(a+bi)/(c+di)

Z=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)

Z=(a*c)+(a*-di)+(bi*c)+(bi*-di)/c²+i²

Ejemplo: teniendo Z₁= 6+9i y Z₂= 2+1i realizar la división

Z=(6+9i)/(2+i)

Z=(6+9i)(2-i)/(2+i)(2-i)

Z=(6*2)+(6*(-i))+(9i*2)+(9i*(-i)/2²+i²

Z=(12-6i+18i+9)/(4-1)

Z=21+12i/3

Al igual que en la multiplicacion en la division podremos realizar la operacion en su forma polar quedando de la siguiente forma:


Z= r1/r2[cos (0₁ - 0₂) + isen (0₁ -0₂)]

Para sacar los vectores resultantes aplicaremos el teorema de pitagoras a cada numero complejo y para calcular sus angulos utilizaremos las funciones trigonometricas (como se mostro en la representacion de un numero complejo en forma polar)

 Z₁= 6+9i                                             Z₂= 2+1i 

| Z₁|= 10.81                                         | Z2|= 2.24

O=56.31°                                             O=26.56

Quedando:

Z= 10.81/2.24 [cos (56.31- 26.56) + i sen (56.31-26.56)]
Z=4.83 [cos 29.75° + i sen 29.75°]

Potencia de números complejos

Dado un numero complejo de la forma z= a+bi para sacar su potencia necesitaremos transformarlo a su forma polar, para ello calculamos su magnitud aplicando el teorema de Pitágoras y enseguida calculamos su ángulo despejando alguna función trigonométrica. (para saber como realizar este proceso checar la entrada “forma polar y rectangular de un numero complejo”).

Una vez obtenida su forma polar utilizaremos la siguiente formula

Z= rⁿ[cos (n*0) + i sen (n*0)

Ejemplo: dado el número complejo Z= 4+ 3i elevarlo a la segunda potencia

Z= 4+3i

|Z|=5                             quedando: Z= 5²[cos (36.87*2) + i sen (36.87*2)

0=36.87                                           Z= 25 [cos 73.74°+ i sen 73.74°]


Redactado por:
Emmanuel Santiago Ramirez
Victor M. Cervantes Ramos